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Hier erfährst du, wie du mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen in Figuren und Körpern berechnen kannst. Höhe im gleichseitigen Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt: h = a 2 3 Durch die Höhe wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt. Die Kathetenlängen sind h und a 2, die Hypotenusenlänge ist a. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a 2 = h 2 + a 2 2 Du stellst nach h 2 um, ziehst die Wurzel und vereinfachst so weit wie möglich: Also: Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 4 cm Höhe h (in cm): Diagonale im Quadrat In einem Quadrat mit der Seitenlänge a gilt für die Länge der Diagonale d: d = a 2 Die Diagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ABC. Die Katheten in diesem Dreieck sind die Seiten des Quadrats. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: Du ziehst die Wurzel: Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm Länge der Diagonale d (in cm): Raumdiagonale im Quader In einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gilt für die Länge der Raumdiagonale d: d = a 2 + b 2 + c 2 Die Raumdiagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ACG, die Katheten sind die Seiten c und e.
Einleitung und Wiederholung Du lernst in diesem Kapitel, wie du den Satz des Pythagoras in Flächen und Körpern anwenden kannst. Es geht häufig darum, eine Höhe auszurechnen. Wenn du die Höhe kennst, kannst du den Flächeninhalt oder das Volumen (Rauminhalt) berechnen. Das Wichtigste ist, das rechtwinklige Dreieck zu sehen. Das Ausrechnen einer fehlenden Seite hast du schon gelernt. Diese Formeln brauchst du: Zum Berechnen der Hypotenuse $$c$$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck - dem rechten Winkel gegenüber): $$c^2=a^2+b^2$$ Zur Berechnung einer Kathete $$a$$ oder $$b$$ (die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck - anliegend am rechten Winkel): $$a^2 = c^2 - b^2$$ oder $$b^2 = c^2 - a^2$$ Bild: mauritius images GmbH (Merten) Bei der Kathetenberechnung ist es nicht egal, wie du die Formel aufschreibst. Du ziehst immer den Flächeninhalt der Kathete von dem Flächeninhalt der Hypotenuse ab. Solltest du die Zahlen falsch notieren, würdest du eine negative Zahl herausbekommen. Aus dieser lässt sich nicht die Wurzel ziehen.
Außerdem sind die beiden Basiswinkel $\alpha $ und $\beta $ gleich groß. Die Seite $c$ ist die Basis. Wenn wir jetzt die Höhe der Seite $c$ ergänzen, erhalten wir zwei deckungsgleiche Dreiecke, in welchen der Satz des Pythagoras wieder angewendet werden darf. Denkt außerdem daran, dass die Basis $c$ durch die Ergänzung der Höhe in zwei gleich lange Abschnitte unterteilt wird. Außerdem wird der Winkel $\gamma $ durch die Ergänzung der Höhe ebenfalls halbiert. In diesem Dreieck gelten also nach dem Satz des Pythagoras die folgenden Zusammenhänge: $h^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2=a^2\ \ \ $und $\ \ \ h^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2=b^2$ Die Anwendung im gleichseitigen Dreieck funktioniert nach dem gleichen Schema. Der einzige Unterschied ist lediglich die Tatsache, dass alle Seiten gleich lang und alle drei Winkel gleich groß sind ($60{}^\circ $). Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke, Nachhilfe online, Hilfe in Mathe, Lernvideo Der Höhen- und Kathetensatz sind weitere mathematische Methoden, welche euch behilflich sein können.
Das rechtwinklige Dreieck in Flächen Quadrat und Rechteck Du kannst den Pythagorassatz anwenden, um die Länge der roten Diagonalen zu berechnen. Die Diagonale verbindet gegenüberliegende Eckpunkte und lässt zwei rechtwinklige Dreiecke entstehen. Du benötigst diese Rechnung für Aufgaben wie: "Welche Breite darf die Tischplatte höchstens haben, um noch durch das Fenster zu passen? " Beispiel: Wie lang ist die Diagonale im Quadrat mit der Seitenlänge $$6$$ $$cm$$? $$e^2=a^2+a^2$$ $$e^2=6^2+6^2$$ $$e^2=36+36$$ $$e^2=72$$ $$|sqrt()$$ $$e approx 8, 5$$ $$cm$$ Das rechtwinklige Dreieck in Flächen Das Dreieck In einem Dreieck kannst du die Höhe einzeichnen. Sie steht senkrecht auf einer Dreiecksseite und geht durch die gegenüberliegende Spitze. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck (eigentlich sogar zwei), in dem du den Satz des Pythagoras anwenden kannst. Kennst du die Länge der Höhe, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen. Beispiel: Berechne die Höhe des gleichseitigen Dreiecks mit $$a=10$$ $$cm$$.
AB: Pythagoras in Körpern - Matheretter Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich diagonale Strecken auf Seitenflächen von geometrischen Körpern berechnen. Die folgenden Aufgaben überprüfen, ob du diese berechnen kannst. 1. Benutze den Satz des Pythagoras, um die fehlenden Diagonalen zu berechnen.
Nach der Wiederholung der Prismen mittels des "Quadratischen Prismas", des "Dreieckprismas" und des "Sechseckprismas" findet nun der Satz von Pythagoras seine Anwendung in Körpern, zum Einstieg im Würfel. Entstanden hierbei ist das durch Lösungsvideos differenzierende Arbeitsblatt "Satz von Pythagoras in Körpern - Würfelaufgaben" Das Einführungsvideo sowie die Beispielaufgabe zum Würfel schaffen die Grundlagen zum Lösen der Würfelaufgaben. Die Lösungsvideos können ergänzend zur Bearbeitung des Arbeitsblatts eingesetzt werden können. Viel Spass damit:-) (Im Arbeitsblatt gelangt ihr per Klick auf die Video QR - Codes direkt zum entsprechenden Video)
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