Teneriffa Süd Abflug
Auch bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist es (wie bei Häufigkeitsverteilungen) sinnvoll, Mittelwerte zu betrachten. Ein solcher ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße, der deren Verteilung durch einen mittleren Wert charakterisiert. Gegeben sei eine Zufallsgröße X mit folgender Verteilung: Dann nennt man die Zahl E ( X) = x 1 ⋅ p 1 + x 2 ⋅ p 2 +... Erwartungswert von x 20. + x k ⋅ p k den Erwartungswert von X. Der Erwartungswert muss (wie die folgenden Beispiele zeigen) unter den Werten der Zustandsgröße nicht vorkommen. Beispiel 1: Als Erwartungswert der Zufallsgröße Augenzahl A beim Werfen eines idealen Würfels ergibt sich: E ( A) = 1 ⋅ 1 6 + 2 ⋅ 1 6 + 3 ⋅ 1 6 + 4 ⋅ 1 6 + 5 ⋅ 1 6 + 6 ⋅ 1 6 = 21 ⋅ 1 6 = 3, 5 Beispiel 2: Es wird mit einem gezinkten Würfel gewürfelt. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl A gelte: P ( 1) = 2 9 P ( 2) = P ( 3) = P ( 4) = P ( 5) = 1 6 P ( 6) = 1 9 Somit ergibt sich als Erwartungswert: E ( A) = 1 ⋅ 2 9 + 2 ⋅ 1 6 + 3 ⋅ 1 6 + 4 ⋅ 1 6 + 5 ⋅ 1 6 + 6 ⋅ 1 9 = 8 9 + 14 6 = 16 18 + 42 18 = 58 18 ≈ 3, 22 Mithilfe des Erwartungswertes lässt sich der Gewinn beim Losverkauf oder einer Tombola bewerten.
Aufgabe: Seien X 1,..., X n unabhängige, im Einheitsquadrat [0, 1]² gleichverteilte Zufallsvariablen und A = {(x 1, x 2) ∈ [0, 1]²: -x 2 2 + 1 ≥ x 2} die Menge aller Punkte im Einheitsquadrat unterhalb der Parabel x2 = -x 1 2 + 1. Sei Y:= 3/n ( sum i= 1 zu n, A(X i)) Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y und schätzen Sie mit Hilfe des schwachen Gesetzes großer Zahlen ab, wieviele Punkte benötigt werden (also wie groß n gewählt werden muss), damit Y mindestens mit einer Wahrscheinlichkeit von 0. 9 im Intervall [µ − 0. Erwartungswert von X^2. 001, µ + 0. 001] liegt Problem/Ansatz: A = ist die Fläche unterhalb einer Funktion x 2. also durch Integralrechnung [0, 1] bekomme ich A= 2/3. aber wie es weitergeht.... ich wäre sehr dankbar, wenn ich eine etwas ausführliche Lösung, auf diese Fage bekäme.
Bei einem fairen Spiel wäre der Erwartungswert gleich Null. Hier ist das Spiel unfair, da pro Runde im Schnitt ein Verlust von 3 Cent zu erwarten ist. Erwartungswert einer stetigen Verteilung Dabei steht $f(x)$ für die Dichtefunktion. Beispiel 3 Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen -1 und 1. Die Dichtefunktion des Zufallsgenerators ist $$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} x < -1 \\[5px] 0{, }5 & \text{für} -1 \le x \le 1 \\[5px] 0 & \text{für} x > 1 \end{cases} \end{equation*} $$ Berechne den Erwartungswert. $$ \begin{align*} \textrm{E}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! Erwartungswert von x 2 black. x \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{-1}^{1} \! x \cdot 0{, }5 \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{1}^{\infty} \! x \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{3. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \!
Schiefe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Schiefe der Verteilung ist mit dem Mittelwert und der Standardabweichung. Entropie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Anwendungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine " Badewannen-Kurve " ergibt. Erwartungswert lineare Transformation | Mathelounge. [3] Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab: [4] Frühausfälle mit, beispielsweise in der Einlaufphase ("Kinderkrankheiten"). Zufällige Ausfälle mit in der Betriebsphase Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie allerdings als Rosin-Rammler-Verteilung oder Rosin-Rammler-Sperling-Bennet-Verteilung (kurz RRSB-Verteilung) bezeichnet.
2010, 12:28 @Lampe Dann widersprichst du Wikip edia (Ziffer 4) (was man mit guten Gründen auch tun dürfte). 23. 2010, 12:33 Mit diesem Zitat scheint mir die Frage erledigt. Die Reihe muss absolut konvergent sein. Das ist sie hier nicht. Also liegt kein definierter Erwartungswert vor. 23. 2010, 15:59 Ich leide mit Baii und fasse zusammen, was ich verstanden habe: Entkleidet von einem konstanten Faktor fällt bei der Erwartungswertberechnung der Ausdruck an. Das ist ein unbestimmeter Ausdruck, und deshalb sind Erwartungswrt und Standardabweichung nicht definiert. Wenn das richtig verstanden ist - wisili oder Huggy - bitte nochmal posten! 23. Zeitabhängiger Erwartungswert von x^2 mit Auf-/Absteiger - YouTube. 2010, 16:08 René Gruber Wenn es denn nur wäre, dann hätte man kein Problem, denn das ist ja Null. Gefordert wird aber die absolute Konvergenz von, also die Konvergenz der Reihe der Beträge, und diese Konvergenz ist offenbar nicht erfüllt. 23. 2010, 22:00 Ich korrigiere meine vorherige Zusammenfassung: Die Auswertung der Erwartungswertformel für die von Baii beschriebene diskrete Zufallsvariable liefert zwar den Wert null; das Ergebnis ist aber wegen fehlender absoluter Konvergenz (s. o. )
könnte man nicht für E[X^2] schreiben E[X * X] = E[f(x) * f(x)] = \sum_i x*(f(x_i)^2 wo mache ich einen Fehler? omega = {x_1, x_2,..., x_n} p_i = P(X = x_i) E[X] = sum{i = 1.. n}[x_i^2 * p_i] E[f(X)^2] = sum{i = 1.. n}[f(x_i)^2 * p_i] Danke für die Herleitung, jetzt hab ichs begriffen... (wieso seh ich das nicht einfach auf anhieb... :() Gruss Roger Loading...
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