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Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt. \(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\) Aufgaben Aufgabe 48 Potenzen mit übereinstimmenden Basen und Exponenten Vereinfache: \(w = \left( {{a^2} - 2a} \right) \cdot 4 - ({a^2} - 8a)\)
Lesezeit: 4 min Wie wir wissen, helfen uns Zehnerpotenzen, große Zahlen schneller und übersichtlicher zu schreiben. Zum Beispiel: 375 000 000 = 375 · 1 000 000 = 375 · 10 6 oder aber auch: 375 000 000 = 3, 75 · 1 00 000 000 = 3, 75 · 10 8 Wir können solche Zahlen in Zehnerpotenz-Schreibweise miteinander addieren, hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Aufgabenfuchs: Rechnen mit Potenzen. Zehnerpotenzen mit ganzer Zahl als Vorfaktor Wir nehmen als Beispielaufgabe: 75·10 6 + 83·10 7 und sollen die Lösung berechnen. Wie wir sehen, sind die Vorfaktoren ganze Zahlen. Ein Rechenweg zur Addition von Zehnerpotenzen ist, die Zehnerpotenzen auszuschreiben, zum Beispiel: 75·10 6 + 83·10 7 = 75 000 000 + 83 0 000 000 Und dann die beiden Zahlen direkt zu addieren: = 75 000 000 + 830 000 000 = 905 000 000 Schreiben wir die Addition beider Zahlen mit den Stellen untereinander (also schriftliche Addition): 75 000 000 + 830 000 000 = 905 000 000 Das Ergebnis können wir nun auch als Zehnerpotenz schreiben (einfach die Nullen zählen und mit 10 Nullenanzahl notieren).
000. Das Praktische an Zehnerpotenzen ist allerdings, dass das Ergebnis immer eine 1 mit so vielen Nullen ist, wie dem Exponenten entspricht, bei 10 5 also 5 Nullen.
Formeln Rechenregeln für Potenzen Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung \({0^0}... {\text{nicht definiert}}\) \({0^{ - n}}... {\text{nicht definiert}}\) \({0^n} = 0\) \({a^0} = 1\) \({a^1} = a\) \(n \in {{\Bbb N}_u}:\, \, \, {\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\) \(n \in {{\Bbb N}_g}:\, \, \, {\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\) \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\) Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben". \(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\) Potenzen multiplizieren bzw. Potenzen mit gleichen exponenten addieren. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
Alles wird in diese Playlist ausführlich und gut erklärt. Zudem gibt es zu jedem Potenzgesetz noch einige Übungen mit Lösungen: so, ich gehe mal davon aus dass du mit "%" eine Division meinst, falls dies nicht der Fall ist, schreib doch bitte nochmal deine Angabe:) also wie gesagt ich gehe nun wie folgt aus: (a^27+a^17) / a^15 (I) dafür kannst du auch schreiben: a^27 / a^15 + a^17 / a^15 (II) Dass dies auch möglich ist, wird schnell klar, wenn du beide wieder zu einem gemeinsamen Bruch zusammenfassen möchtest. Die Bedingung dafür ist ein gemeinsamer Hauptnenner. Den haben beide, also Gleichung (II) = Gleichung (I) so und genau bei dieser Gleichung 2 kannst du jetzt deine Potenzgesetze anwenden. Potenzen mit gleichem Exponenten (Vereinfachen). Bei Brüchen gilt allgemein: a^m/a^n = a^(m-n) auf die Gleichung übertragen folgt: a^(27-15) + a^(17-15) = a^12 - a^2 Könntest Du die Aufgabe evtl. noch einmal korrekt posten? Denn das% - Zeichen ist an dieser Stelle sicher nicht richtig.
a) = b) = c) · = d) = e) · f)) Aufgabe 14: Trage die fehlenden Werte ein. c): = e): Aufgabe 15: Trage die fehlenden Werte ein. a) 6 2: 3 2 = 2 b) 16 7: 2 7 = c) 12 5: = 4 5 d) 18 6: 4, 5 6 = 6 e) 10 3: = 4 3 f) ab 4: b 4 = Aufgabe 16: Ergänze die vereinfachten Terme richtig. Aufgabe 17: Trage die richtigen Werte ein. Aufgabe 18: Vereinfache die Terme und trage die Lösung ein. a) (4 3) 2 = 4 = b) (2 4) 3 = 2 = c) (7 2) 2 = 7 = d) (10 2) 4 = 10 = e) (5 2) -2 = 5 = f) (0, 1 -3) 2 = 0, 1 = g) (2 2 · 3 3) 2 = 2 · = h) (2 2 · 4 2) 3 = = Gemischte Aufgaben Aufgabe 19: Klick an, ob der rote Term zusammengefasst 3x 3, 3x 4, oder 3x 5 ergibt. Sechzehn Terme sind zuzuordnen. richtig: 0 | falsch: 0 Aufgabe 20: Ergänze die vereinfachten Terme richtig. a) b) c) d) e) f) Aufgabe 21: Trage die fehlenden Werte ein. a) p m · p 0 · p n = p b) y x + 2 · y · y x - 2 · y x = y c) a m · b n · a · b 2n = a · b d) (t 7 · t 2): (t · t 3)= t e) 4 -3: 4 -5 = 4 Negative Exponenten Aufgabe 22: Potenzen können auch negative Exponenten haben.
Die letzte Zeile kann man zum Teil zusammenfassen. Bei den ersten beiden Termen haben wir ab jeweils als Basis mit Exponenten 1. Dies können wir zusammenfassen. Die 8a bleiben stehen. Beispiel 2: Fasse die folgende Potenz zusammen und berechne diese. Die Basis ist gleich, daher können wir einfach die Exponenten addieren und ausrechnen. Potenzen Addition / Subtraktion Aufgaben Anzeigen: Video Potenzrechnung Beispiele zum Rechnen mit Potenzen Was sind eigentlich Potenzen und wie kann ich mit diesen rechnen? Die Addition und Subtraktion von Zahlen zeige ich dir dabei im nächsten Video. Entsprechende Beispiele werden vorgerechnet und erklärt. Nächstes Video » Fragen mit Antworten zu Potenzen Addition und Subtraktion
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