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90 Aufrufe Aufgabe: Berechnen Sie mit den Algorithmen der Vorlesung (Chinesischer Restsatz) und ohne Hilfe eines Computers: 2^413 mod 225 Hinweis: Verwenden Sie im Teil b) den Chinesischen Restsatz und den kleinen Satz von Fermat. Verwenden Sie außerdem, dass für die Eulersche Phifunktion gilt ϕ(pk) = p^k − p^k−1 für alle Primzahlen p, k ∈ N und k ≥ 1. Chinesischer Restsatz mit Polynomen | Mathelounge. Letztere Formel haben wir im Vorlesungsforum ebenfalls besprochen Gefragt 6 Jan von 1 Antwort Oh sorry. Dann kann man den chinesischen Restsatz ja doch noch verwenden;-) Da habe ich ja ziemlichen Murx geliefert.. Aber nun ist \(\phi(225)=\phi(3^2)\phi(5^2)=6\cdot 20=120\), also \(2^{120}\equiv 1\) mod \(225\), also...
Im nächsten Schritt schauen wir uns an, wie man mit einem System aus drei linearen Kongruenzen verfährt. Gleichzeitig soll auf der rechten Seite der allgemeine Fall dargestellt werden. In unserem Eingangsbeispiel haben wir gesehen, dass alle Lösungen kongruent zum kgv m aller Moduln sind, da diese paarweise teilerfremd sind, ist m gerade das Produkt aller Moduln. Dieses berechnen wir als aller erstes: Hier können wir nicht mehr gegenseitig die Inversen finden, da wir mehrere lineare Kongruenzen haben, doch wir gehen so ähnlich dividieren m durch ein Modul und finden zu diesem Quotienten im heraus dividierten Modul das Inverse. Das heißt alle anderen Moduln stecken in der Zahl drin zu der das Inverse gesucht wird. Chinesischer restsatz rechner. Jetzt finden wir durch Ausprobieren die Inversen. Vorher prüfen wir noch, ob die lineare Kongruenz überhaupt lösbar ist, indem wir schauen ob der ggT(k i, m i)= 1 ist, so wie wir das schon im Kapitel zu den linearen Kongruenzen gemacht haben. Jetzt können wir schon unser x zusammensetzen und zwar genauso wie in unserem Beispiel mit zwei linearen Kongruenzen: Das gefundene x löst das System, denn modulo 2 ergibt der 2. und 3.
Schönen Gruß, Jens Post by Jens Voß Post by Bernd Schneider Hi, ich habe mal eine ganz einfache Frage zum chinesischen Restsatz und seiner Anwendung zur Entschlüsslung im Falle von RSA. Seien p, q prim und m^{ed-1} = 1 (mod p) m^{ed-1} = 1 (mod q) m^{ed-1} = 1 (mod pq) Ist a = 1 (mod p) a = 1 (mod q) so ist dies gleichbedeutend mit a - 1 = 0 (mod p) a - 1 = 0 (mod q) Mit anderen Worten, sowohl p als auch q sind Teiler von a - 1. a - 1 = 0 (mod pq) oder a = 1 (mod pq) Ok! Das ist gut, aber kannst Du mir vielleicht erklären, wieso z. B. auf im "Beweis" Abschnitt schreiben.... "Mithilfe eines Spezialfalles des chinesischen Restsatzes können nun die Kongruenzen modulo p und modulo q unter der Bedingung N=pq zu der gesuchten Kongruenz modulo N kombiniert werden. " Außerdem steht überall, dass man mit Hilfe des CRT die Entschlüsselung erheblich beschleunigen kann. Chinesischer restsatz online rechner. Würde man da wie folgt vorgehen, wenn ich z. m^d mod n berechnen muss: Ausgehend von 1. x = m^d (mod p) <==> x = x_1 (mod p) 2. x = m^d (mod q) <==> x = x_2 (mod q) benutze CRT um x zu berechnen, wie folgt: x = x_1 * q * (q^{-1} mod p) + x_2 * p * (p^{-1} mod q) mod n Ist das korrekt?
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