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(3) Zweimaliges Entwickeln nach der zweiten Zeile liefert det 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 − 1 = det 1 0 1 0 1 0 1 0 − 1 = det 1 1 1 − 1 = −2. (4) Entwickeln nach der dritten und dann nach der zweiten Spalte ergibt det 1 2 0 3 4 5 1 7 1 − 2 0 1 2 0 0 4 = −det 1 2 3 1 − 2 1 2 0 4 = 2 det 1 1 2 4 + 2 det 1 3 2 4 = 2 · 2 + 2 · (−2) = 0.
Zeile und der 2. Spalte $(-1)^{1+2}$: Vorzeichenfaktor (hier negativ, da der Exponent ungerade ist) $D_{12}$: Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $1$ -te Zeile und die $2$ -te Spalte streicht 3.
Laplace Entwicklungsatz Erste Frage Aufrufe: 458 Aktiv: 24. 02. 2020 um 18:31 1 Ist der Satz nur auf quadratische Matrizen anwendbar? Matrix Laplacescher entwicklungssatz Diese Frage melden gefragt 24. Entwicklungssatz von laplace die. 2020 um 17:58 amypurehearted Student, Punkte: 15 Kommentar schreiben Antwort Da man die Determinante im Allgemeinen nur von quadratischen Matrizen bestimmen kann, ja. Diese Antwort melden Link geantwortet 24. 2020 um 18:31 jordan Punkte: 235 Kommentar schreiben
Laplacescher Entwicklungssatz Definition Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann die Determinante v. a. für größere quadratische Matrizen (z. B. 4 × 4, 5 × 5) bestimmt werden (für kleinere Matrizen geht das auch mit einer einfachen Formel (2 × 2 - Matrix, vgl. Determinante) oder der Regel von Sarrus (3 × 3 - Matrix)). Das erfordert ein paar Zwischenberechnungen von Unterdeterminanten (Minoren) und Kofaktoren. Beispiel Das Beispiel zur Regel von Sarrus soll nun mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnet werden. Die Matrix war: $$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$ Nun berechnet man für die 3 Elemente der ersten Zeile der Matrix zunächst die Unterdeterminanten bzw. Minoren und daraus die Kofaktoren: $$M_{1, 1} = \begin{vmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}$$ $$= 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = 45 - 48 = - 3$$ $$K_{1, 1} = - 3$$ Für die Unterdeterminante bzw. den Minor M 1, 1 (1. Zeile und 1. Spalte) wird die 1. Entwicklungssatz von laplace. Zeile und die 1. Spalte der Matrix A gestrichen; von der verbleibenden 2 × 2 - Matrix wird die Determinante berechnet.
Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer $(n, n)$ - Matrix "nach einer Zeile oder Spalte entwickeln". Merke Hier klicken zum Ausklappen Laplaceschen Entwicklungssatz für die i-te Zeile: $A = (a_{ij}) \longrightarrow \; det(A) = \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{i + j} \ a_{ij} \ det (A_{ij})$ Laplaceschen Entwicklungssatz für die j-te Spalte: $A = (a_{ij}) \longrightarrow \; det(A) = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + j} \ a_{ij} \ det (A_{ij})$ Dabei ist $A_{ij}$ die $(n - 1) \times (n - 1)$ - Untermatrix. Sie entsteht durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte. Wie bei der Bestimmung der Determinante vorgegangen wird, zeigen wir dir anhand eines Beispiels. Entwicklung nach der i-ten Zeile Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Entwicklungssatz von laplace youtube. Berechne die Determinante dieser Matrix! Möchten wir nach der ersten Zeile entwickeln, müssen wir als Erstes die drei Streichungsdeterminanten berechnen, um dann die Determinante von $A$ ermitteln zu können.
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