Teneriffa Süd Abflug
Während der eine Einheitsvektor vom Pol in Richtung des betrachteten Punktes zeigt, steht der zweite Einheitsvektor gegen den Uhrzeigersinn senkrecht auf dem Vektor. Basisvektoren Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten Mit den Einheitsvektoren lässt sich eine Bewegung in Kreiskoordinaten in eine radiale und eine transversale Komponente zerlegen. Es gilt nämlich für die Geschwindigkeit: Analog gilt für die Beschleunigung: Durch Zusammenfassen ergibt sich: Polarkoordinaten und komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl kann mit ihrem Realteil und ihrem Imaginärteil auf folgende Art und Weise dargestellt werden: Dies kommt einer Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten gleich, wobei der Realteil der x-Koordinate und der Imaginärteil der y-Koordinate entspricht. Eine andere Darstellung der Zahl gleicht dann einer Darstellung in Kreiskoordinaten: Mit der Eulerschen Formel gleicht dies folgender Schreibweise: Durch Vergleich mit der Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten ergeben sich wieder die bekannten Transformationsgleichungen: Räumliche Polarkoordinaten Werden die Kreiskoordinaten um eine dritte Koordinate ergänzt, so ergeben sich sogenannte räumliche Polarkoordinaten.
Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten \( \def\, {\kern. 2em} \let\phi\varphi \def\I{\mathrm{i}} \) Man multipliziert komplexe Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert: Für \(\color{red}{z = r\, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi))}\) und \(\color{blue}{z' = r'\, (\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))}\) gilt \color{blue}{z'} \color{red}{z} = \color{blue}{r'\, (\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))}\, \color{red}{ r \, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi))} = \color{blue}{r'}\color{red}{r}\, (\cos(\color{blue}{\phi'}+\color{red}{\phi})+\I\sin(\color{blue}{\phi'}+\color{red}{\phi})) \). In der Skizze können Sie \(\color{red}{z}\) und \(\color{blue}{z'}\) mit der Maus bewegen. Können Sie die Inverse von \(\color{red}{z}\) interaktiv bestimmen? Finden Sie eine Quadratwurzel zu \(u\)? (Der Kreis ist der Einheitskreis, die Kuchenstücke deuten die beiden Winkel \(\color{red}{\phi}\) und \(\color{blue}{\phi'}\) an, die für die Multiplikation addiert werden. ) Sie können auch \(u\) bewegen. Diese schöne Darstellung der Multiplikation macht auch das Potenzieren anschaulich.
Start Frage: Mir ist nicht ganz klar, wie ich einen Punkt, der nicht auf dem Einheitskreis liegt, mithilfe der Polarform doch auf den Einheitskreis bringen kann. Also ich meine, wie ich zum Beispiel in die Form bringen kann. Woher kommt genau die Wurzel? Antwort: Eine komplexe Zahl hat in der Polardarstellung immer die Form, wobei und reelle Zahlen sind. Dabei beschreibt immer eine Zahl auf dem Einheitskreis (also mit Betrag 1) und streckt oder staucht diese Zahl dann noch entsprechend. Komplexe Zahlen in Polardarstellung liegen nur auf dem Einheitskreis, falls ihr Betrag 1 ist, also. gibt den Betrag der komplexen Zahl an, also die Länge des Vektors, wenn man in der komplexen Ebene zeichnet. Das heisst gibt den Winkel mit der komplexen Zahl mit der reellen Achse an, wird auch "Argument von " genannt (schreibe) und wird in Radians (Bogenmass) gemessen (d. h. entsprechen). Den Winkel kann man bei manchen komplexen Zahlen gut ablesen (so wie hier) oder über den Arkustangens berechnen (siehe dazu die Formeln auf S. 6, 7 des Skripts über komplexe Zahlen).
Darstellungsformen komplexer Zahlen Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen. Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt. \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\, i = \sqrt { - 1} \cr}\) a = Re(z) … a ist der Realteil von z b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z i … imaginäre Einheit Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen.