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Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Wir können die Umkehrfunktion einer linearen Funktion leicht berechnen, indem wir sie nach x auflösen: Die Steigung der Umkehrfunktion ist also 1/m und der y-Achsenabschnitt -n/m.
Den Wertebereich bilden alle reellen $y$-Werte, die größer oder gleich 5 sind, denn die Parabel ist nach oben offen und ihr Scheitelpunkt liegt bei 5 auf der $y$-Achse. Definitionsbereich: $D$ $f$: $x$ ∈ ℝ, $x$ ≥ 0 Wertebereich: $W$ $f$: $y$ ∈ ℝ, $y$ ≥ 5 1. Die Funktion nach $x$ auflösen. $f(x)= 3x^2+5~~~~~~~~~~~~|-5$ $\iff y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~|:3$ $\iff \frac{y-5}{3}=x^2~~~~ ~~|\sqrt{~~}$ $\iff \sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$ $y = f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $ Bemerkung: Für den Parabelteil links vom Scheitelpunkt gilt: Dessen Umkehrfunktion ist $f$ -1 (x) = - $\sqrt{\frac{x-5}{3}} $ Hier klicken zum Ausklappen $f(x)=5x^3$ Auch hier müssen wir uns keine Gedanken über den Definitionsbereich machen, da die Funktion eineindeutig ist. $f(x)=y =5x^3~~~~~~~~~~~~~|:5$ $\iff \frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$ An dieser Stelle müssen wir aufpassen. Wenn wir eine dritte Wurzel ziehen um die dritte Potenz zu beseitigen, dann sind deren Ergebnisse immer positiv oder Null. Das alles soll auch für negative Zahlen gelten.
$x$ und $f(x)$ vertauschen $0, 5 \cdot f(x) - 0, 5 = x~~~~~|f(x) \leftrightarrow x$ $f(x) = 0, 5 \cdot x - 0, 5$ Hinweis Hier klicken zum Ausklappen Um deutlich zu machen, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt, schreibt man anstatt $f(x)$ auch $f^{-1}(x)$. $\rightarrow f^{-1}(x) = 0, 5 \cdot x - 0, 5$ Schauen wir uns einige weitere Beispiele an, um das Vorgehen besser zu verstehen.
Hat eine Funktion für einen Wert von x zwei oder mehr verschiedene Funktionswerte, so ist es meistens nicht möglich, die Umkehrfunktion einfach zu bestimmen. Graphisch lässt sich dies mit einer horizontalen Linie bestimmen. Zeichnet man die Funktion, dann darf eine horizontale Linie den Graphen nur an einer Stelle schneiden. Schneidet sie den Graphen an mehreren Stellen, so existiert wahrscheinlich keine Umkehrfunktion. Eine Funktion, die jedem Wert von x nur einen einzigen Wert aus der Wertemenge zuweist, heißt injektive Funktion. Die trigonometrische Funktion f ( x) = sin( x) hat als Umkehrfunktion f -1 ( x) = asin( x). f (10π) = 0 allerdings ist asin(0) = 0. f ( x) = sin( x) f ( x) = asin( x) Vorsicht! Es ist verlockend, anzunehmen, dass die Umkehrfunktion von f ( x) = x ² die Funktion ist. Auch wenn für alle x ≥ 0 wahr ist, stimmt dies für alle x < 0 nicht mehr. Wird x kleiner als Null, ist die Quadratwurzel nicht mehr für negative Werte in definiert. Die Umkehrfunktion für Werte von x < 0 lautet daher.
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