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Discussion: Das Gummibärchen-Orakel: Kombinatorik (zu alt für eine Antwort) Beim Gummibärchen-Orakel zieht man aus einer "unendlichen Menge" Gummibärchen zufällig 5 Stück. Jedes Gummibärchen kann eine von 5 Farben haben. Eine Farbe kann in den fünf zufällig gezogenen Bärchen also keinmal, einmal oder mehrmals enthalten sein. Nun wird anhand der gezogenen Kombination von Farben ein Deutungstext angezeigt. Da ich leider in Kombinatorik eine totale Flasche bin, hier meine Frage: Wieviele verschiedene solcher 5er-Gruppen kann es geben? (Wie berechnet man das schon wieder?? ) Also, wieviele verschiedene Deutungstexte müssen geschrieben werden? Link: wichtiger Nachtrag: die Reihenfolge der gezogenen Farben der Bärchen in der Gruppe spielt keine Rolle also zB. Kombinatorik - lernen mit Serlo!. : R R R G G (Rot/Grün) ist bei der Auswertung dasselbe wie: R G R G R das reduziert glaub ich die Anzahl *verschiedener* Kombinationen... Post by Patrick Beim Gummibärchen-Orakel zieht man aus einer "unendlichen Menge" Gummibärchen zufällig 5 Stück.
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? $$ \frac{5! }{3! \cdot 2! } = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)}=10 $$ Es gibt 10 Möglichkeiten drei blaue und zwei rote Kugeln in einer Reihe anzuordnen. Variationen $k$ -Auswahl aus $n$ -Menge $\Rightarrow$ Es wird eine Stichprobe betrachtet. Reihenfolge der Elemente wird berücksichtigt $\Rightarrow$ Geordnete Stichprobe Variation ohne Wiederholung Herleitung der Formel: Variation ohne Wiederholung Beispiel 5 In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? $$ \frac{5! Kombinatorik grundschule gummibaerchen . }{(5-3)! } = \frac{5! }{2! } = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$ Es gibt 60 Möglichkeiten 3 aus 5 Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen. Variation mit Wiederholung Herleitung der Formel: Variation mit Wiederholung Beispiel 6 In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln.
Im Urnenmodell sagt man statt mit Wiederholung auch mit Zurücklegen. Allgemeines Zählprinzip Bevor wir tiefer in die Kombinatorik eintauchen, schauen wir uns zuerst die Produktregel der Kombinatorik an. Diese Regel ist auch unter dem Begriff Allgemeines Zählprinzip bekannt. Einführungsbeispiel Beispiel 1 Markus besitzt 3 Paar Schuhe, 2 Hosen und 4 T-Shirts. Wie oft muss er sich anziehen, wenn er alle Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren will? Zu jedem seiner 3 Paar Schuhe hat er 2 Möglichkeiten, eine Hose hinzuzufügen: Damit gibt es $3 \cdot 2 = 6$ Schuhe-Hose-Kombinationen. Zu jeder dieser 6 Möglichkeiten hat er 4 verschiedene T-Shirts zur Auswahl: Damit gibt es insgesamt $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen. Kombinatorik: Formeln, Beispiele, Aufgaben - Studienkreis.de. Definition Zur Erinnerung: Unter einem $k$ - Tupel versteht man eine Aufzählung von $k$ nicht notwendig voneinander verschiedenen mathematischen Objekten in einer vorgegebenen, festen Reihenfolge aus einer $n$ -Menge. Beispiel 2 Gehen wir zurück zu unserem Schuhe-Hose-T-Shirt-Beispiel: Die $n$ -Menge sind die 24 verschiedenen Schuhe-Hose-T-Shirt-Kombinationen, die wir berechnet haben.
Ein zweiter, insbesondere bei der Auswertung von Bernoulli-Experimenten Anwendung findender Ansatz fasst die Kombination ohne Wiederholung als ein Anordnungsproblem auf. Die Zahl der möglichen Auswahlen kann dann dadurch ermittelt werden, dass man die Zahl der voneinander unterscheidbaren Anordnungen ausgewählter und nicht ausgewählter Objekte bestimmt, wobei diese selbst nicht mehr voneinander unterscheidbar sein sollen, die gesamte Ausgangsmenge also nur noch in die beiden Objektklassen "ausgewählt" (z. B. schwarze Kugel mit weißer Nummer) und "nicht ausgewählt" (z. weiße Kugel mit schwarzer Nummer) unterteilt ist. Wenn man nun untersucht, wie viele verschiedene Anordnungen dieser schwarzen und weißen Kugeln es gibt, wobei nur ihre Farbe eine Rolle spielen soll, ergibt sich gemäß der Formel für die Zahl der Permutationen von Elementen, die jeweils klassenweise nicht unterscheidbar sind, die obige Formel. Ob dabei die Zahl der ausgewählten Objekte und die Zahl der nicht ausgewählten Objekte ist oder umgekehrt, ist für das Ergebnis unerheblich; welche der beiden Teilmengen der Ausgangsmenge die interessierende ist, hat keinen Einfluss auf die Anzahl der möglichen Aufteilungen.
}{(n - k)! }}$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Auswahl von vier Kugeln zu ordnen? $\Large {\frac{n! }{(n - k)! } = \frac{6! }{(6 - 4)! } = \frac{6! }{2! }\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1 \dot 2} = \frac{720}{2} = 360}$ Es gibt insgesamt also $360$ Möglichkeiten, vier Kugeln aus einer Menge von sechs Kugeln zu ziehen und diese in den unterschiedlichsten Kombinationen zu ordnen. Variation mit Wiederholung Merke Hier klicken zum Ausklappen Um die Variation mit Wiederholung einer Auswahl von $k$ Objekten von einer Gesamtzahl an $n$ Objekten zu berechnen, benötigt man diese Formel: $\Large{n^k}$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen In einer Kiste befinden sich sechs verschiedenfarbige Kugeln, von denen vier Kugeln gezogen werden. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt. Wie viele mögliche Kombinationen an gezogenen Kugeln gibt es?
Diese Mail-Adresse dient der Spam-Ensorgung:-( Post by Michaela Meier da das Experiment sonst an Seriösität verliert;-) Naja, über die Seriosität des Experiments will ich gar nix wissen... Orakel sind nicht so mein Ding... Was ich wissen will ist, wieviele verschiedene Deutungstext der "Erfinder" dieses Orakels hat schreiben müssen. Post by Michaela Meier Wieviele Möglichkeiten gibt es für die erste Farbe, die zweite Farbe.... etc usw? Wie gesagt, es gibt 5 verschiedene Farben bei den Bärchen. Post by Michaela Meier Ist fast dasselbe wie "Wieviele verschiedene 5stellige Zahlen gibt es? ", denn ich nehme mal an, die Reihenfolge ist auch wichtig, da das Experiment sonst an Seriösität verliert;-) Nein, die Reihenfolge spielt keine Rolle in diesem Fall. Der Deutungstext bezieht sich immer nur auf die Menge der jeweils vertretenen Farben bei 5 Bärchen, also zum Beispiel "zwei weisse, zwei rote, ein grünes"... das ist das selbe wie "ein weisses, zwei rote, zwei grüne" Nun? Post by Michaela Meier Post by Patrick Beim Gummibärchen-Orakel zieht man aus einer "unendlichen Menge" Gummibärchen zufällig 5 Stück.
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