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Lösung Wenn Du die Fakultät ausschreibst, sieht der Ausdruck so aus: Daher kann man vereinfacht auch schreiben: Aufgabe 4 Vereinfache den Ausdruck. Lösung Nach demselben Vorgehen wie bei Aufgabe 2 ergibt sich: Wenn Du Dir oben die Vertiefung zur rekursiven Darstellung ansiehst, fällt Dir vielleicht auf, dass die hier gegebene Definition nichts anderes ist, als der Rekursionsschritt. Division bei der Fakultät Die zweite Besonderheit beim Rechnen mit Fakultäten zeigt sich, wenn man zwei Fakultäten durcheinander teilt. Dieser Trick funktioniert sowohl beim Teilen größerer durch kleinere Fakultäten, als auch andersherum. Das folgende Beispiel stellt eine Division zweier Fakultäten dar. An diesem Beispiel siehst Du, dass sich bei der Division von zwei Fakultäten einiges kürzen lässt. Das liegt daran, dass Fakultäten – egal in welcher Höhe – durch ihre Definition immer einige Faktoren gemeinsam haben, nämlich alle Faktoren der kleineren Fakultät. Somit lässt sich ein Bruch aus zwei Fakultäten immer auf die Faktoren herunterkürzen, die in der größeren Fakultät vorkommen, in der kleineren Fakultät aber nicht.
Zusammenfassung: Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aus rein positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich n. Mithilfe des Fakultätsrechners kann diese Zahl ermittelt werden. fakultat online Beschreibung: Der Online-Fakultät-Rechner über die Funktion Fakultät, mit der Sie die Fakultät aus einer ganzen Zahl berechnen können. Das Ausrufezeichen wird in der Regel als Notation der Fakultät verwendet, der Rechner erlaubt es Ihnen, diese Notation zu verwenden. Für die Berechnung der Fakultät von 5, muss beispielsweise folgende Syntax verwendet werden: fakultat(`5`). Nach der Berechnung wird das Ergebnis 120 zurückgegeben. Für die Berechnung der Fakultät kann auch folgende Syntax verwendet werden: 5!. Für kleine Zahlen ist der Rechner in der Lage, Angaben zu den Berechnungen einer Fakultät zu machen. Syntax: fakultat(n), wobei n eine ganze Zahl ist. Es ist möglich, das Ausrufezeichen zu verwenden, um die Fakultät zu berechnen, n! Beispiele: fakultat(`5`), liefert 120 Online berechnen mit fakultat (Fakultätsrechners)
Die meisten Taschenrechner haben dafür eine Fakultät-Funktion, markiert durch das Ausrufezeichen. Hier findest Du noch eine Tabelle mit den ersten 10 Fakultäten: Ausdruck Berechnung Ergebnis da leeres Produkt Die Fakultät lässt sich auch folgendermaßen rekursiv darstellen: Rekursive Darstellung erlaubt es, mit einem Anfangswert durch bereits bekannte Rechenoperationen jede weitere Zahl einer Reihe zu errechnen. In diesem Fall wird zum bekannten Wert die nächstgrößere natürliche Zahl hinzumultipliziert und man erhält den nächstgrößeren Wert. Fakultät von 0 Der (einzige) Sonderfall der Fakultät ist. Warum das so ist, ergibt sich aus der Vorschrift für die Fakultät: Es werden alle natürlichen Zahlen bis n multipliziert – allerdings erst ab der 1. Daher werden bei keine Zahlen aufmultipliziert, und es ergibt sich ein leeres Produkt. Leere Produkte ergeben immer 1, daher ist auch. Wenn wir die rekursive Darstellung verwenden, ergibt sich Folgendes: Für gilt: Das bedeutet: Da wir wissen, dass gilt, gilt also auch Fakultät – Anwendung Wie bereits in der Einleitung gesagt, findet die Fakultät in einigen mathematischen Bereichen Anwendung.
Anwendungen der Fakultät [ Bearbeiten] Wie bereits erwähnt, tritt die Fakultät häufig bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen und in der Statistik auf. Die Ursache dafür liegt an folgendem Satz aus der Kombinatorik (die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Frage nach der Anzahl möglicher Anordnungen und bildet damit die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung). Satz (Anordnungen einer endlichen Menge) Die Anzahl aller Anordnungen einer endlichen Menge mit Elementen ist. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Permutationen einer Menge mit Elementen gleich ist. Mit Hilfe dieses Satzes können nun folgende Fragen beantwortet werden: Wie viele mögliche Anordnungen von Spielkarten gibt es? Wenn ich Bierflaschen habe, wie viele Reihenfolgen gibt es, diese Bierflaschen zu trinken? Auf wie viele unterschiedliche Routen kann man elf Sehenswürdigkeiten besichtigen? Wie kommt man auf den Beweis? (Anordnungen einer endlichen Menge) Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an. Betrachte dazu die Menge und.
Zunächst sieht man, dass man die Zahl an drei Stellen einfügen kann: links, mittig, rechts. Außerdem gibt es bereits zwei mögliche Anordnungen der Zahlen. Damit erhalten wir ingesamt neue Anordnungsmöglichkeiten: Für eine -elementige Menge lautet das Verfahren also: "Erzeuge alle Anordnungen der Menge, indem du das neue Element,, an allen möglichen Stellen in alle möglichen Permutationen der Menge ohne einfügst. " Wir haben so induktiv alle Permutationen einer -elementigen Menge erzeugt. Wir wollen unserer Funktion nun einen Namen geben: Die von uns gesuchte Funktion wird Fakultät genannt und wird üblicherweise in der Postfix-Notation geschrieben. Kehren wir zurück zur Erzeugungsvorschrift: Es gibt Möglichkeiten die neue Zahl zu platzieren, wobei es bereits Anordnungsmöglichkeiten der restlichen Zahlen gibt. So ergibt sich die Rekursionsformel: Mit haben wir den Rekursionsanfang gefunden (es gibt eine Anordnungsmöglichkeit für eine einelementige Menge). Diese rekursive Berechnungsvorschrift können wir als Produkt auch explizit aufschreiben: Unsere Baumdarstellung zeigt, dass die Fakultät schneller als jede Potenz wächst.