Teneriffa Süd Abflug
Widerspruch! Wir konstruieren eine Intervallschachtelung zur Bestimmung der Wurzel: Beispiele 2. 5 (Intervallschachtelung: Wurzel) Es sei,. Wir definieren rekursiv eine Folge: Für gilt und. () Die Folge ist monoton fallend: Da die Folge monoton und beschränkt ist, folgt nach Korollar. Wir bilden eine zweite, monoton wachsende Folge,. Aus folgt für alle: und Wir haben also eine Intervallschachtelung,. Diese Intervallschachtelung definiert die positive Wurzel aus, denn es gilt:. Intervallschachtelung - Zahlenbereiche einfach erklärt!. folgt aus, daß:. Nach Lemma ist. Es sei und. Für folgt aus ():.. mbert 2001-02-09
Angemerkt sei aber, dass die Zahl, die wir suchen, irrational ist. Sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Mit dem Verfahren können wir uns irrationalen Zahlen also immer weiter annähern. Wir können sie jedoch nie genau bestimmen. Exakt ist die Angabe des Wurzelwertes nur mit dem Wurzelzeichen als √5 möglich.
Lesezeit: 3 min Diese Methode beruht auf dem selben Prinzip wie die vorherige Methode ( Intervallschachtelung durch Annäherung). Der Unterschied liegt nur darin, wie wir uns unsere neue Grenze wählen. Intervallschachtelung wurzel 5 video. Haben wir zwei Anfangsgrenzen, so betrachten wir deren Mittelwert und setzen uns diesen als neue obere oder untere Grenze. Wenden wir die Methode auf unser Beispiel an: \( \sqrt { 5} = x \) Wir wählen wieder 2 und 3 als Grenzen. \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 9} \\ 2 < x < 3 Wir bilden den Mittelwert der Grenzen: \frac { 2+3}{ 2} = 2, 5 Überprüfen wir das Quadrat des Mittelwertes: { 2, 5}^{ 2} = 6, 25 Da das Quadrat größer als 5 ist, ist 2, 5 unsere neue obere Grenze. Wir erhalten also: \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 6, 25} \\ 2 < x < 2, 5 Erneut bilden wir jetzt den Mittelwert, um einen genaueren Wert zu erhalten: \frac { 2+2, 5}{ 2} = 2, 25 Auch hier wird das Quadrat überprüft: { 2, 25}^{ 2} = 5, 0625 Also haben wir 2, 25 als neue obere Grenze und somit: \sqrt { 4} < \sqrt { 5} < \sqrt { 5, 0625} \\ 2 < x < 2, 25 Führen wir dieses Verfahren weiter aus, so erhalten wir auch hier ein genaueres Ergebnis.
Auf zur dritten Nachkommastelle, also wieder zunächst das Intervall halbieren, die Mitte liegt bei 8, 715. Das Quadrat dieser Zahl ist kleiner als 76, somit können wir das Lösungsintervall einschränken auf 8, 715 bis 8, 720. Genau wie zuvor, erhöhen wir die entsprechende Nachkommastelle um 1, und betrachten die Quadrate. 8, 716 hoch zwei, ist kleiner als 76, ebenso das Quadrat von 8, 717. Bei 8, 718 zum Quadrat sehen wir aber, dass das Ergebnis größer ist als 76. Die Lösung muss also im Intervall zwischen 8, 717 und 8, 718 liegen. Teilen wir dieses Intervall wieder in der Mitte, also bei 8, 7175, und quadrieren diese Zahl, erhalten wir etwa 75, 995. Intervallschachtelung Mathe? (Schule). Das ist immer noch kleiner als 76, aber schon ganz nah dran! Wir konnten also die Lösung auf drei Nachkommastellen angeben und haben gesehen, dass die Lösung zwischen 8, 7175 und 8, 7180 liegen muss. Die dritte Nachkommastelle runden wir auf 8 auf, und erhalten als näherungsweises Ergebnis 8, 718. Edelberts Zaun soll also 8, 718 Meter lang werden.
Also √7 liegt ja zwischen √4 = 2 und √9 = 3. Erstes Intervall ist somit in]2, 3[ Jetzt muss man dieses Intervall so lange verkleinern, bis man mit dem Ergebnis zufrieden bist. Man kann irgendeinen Wert zwischen 2 und 3 raten: z. B. 2. 5 2. 5 2 berechnen = 6. 25 <7 somit liegt √7 zwischen 2. 5 und 3, also in]2. 5, 3[ 2. 75 2 berechnen = 7. 5625 > 7 √7 liegt zwischen 2. 5 und 2. 75, also in]2. 5, 2. 75[ 2. 625 2 berechnen = 6. 8906 < 7 √7 liegt zwischen 2. 625 und 2. 625, 2. 75[ usw. Fett geschrieben ist hier die Schachtelung. Das kannst du veranschaulichen, indem du den Ausschnitt von 2 bis 3 möglichst gross aufzeichnest und die Intervalle markierst. Man muss nicht genau die Mitte nehmen, wenn etwas anderes einfacher ist. Die Mitte zu berechnen wäre einfach, wenn man das Verfahren programmieren möchte. Intervallschachtelung bei WURZELN | schnell & einfach erklärt anhand zweier Beispiele | ObachtMathe - YouTube. Als Abbruchbedingung kann man die gewünschte Intervallbreite definieren.