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Rechenregeln für den Logarithmus Die Logarithmusrechenregeln gestatten die Vereinfachung von Rechenoperationen und sind deshalb oft der Grund für die Einführung und Behandlung des Logarithmus. Die folgende Übersicht zeigt, wie die Rechenoperationen durch den Übergang zum Rechnen mit Logarithmen "erniedrigt" werden: Der Logarithmusbegriff gründet sich auf den Potenzbegriff, welcher mit einer Fülle von Regeln verknüpft ist (siehe Begleittext " Potenzen und Exponentialfunktionen). LP – Rechenregeln für den Logarithmus. Kein Wunder also, wenn wir diese Regeln zum Verständnis der Logarithmusrechenregeln heranziehen werden müssen. Der Kürze wegen wollen wir sie nur für den (besonders wichtigen) dekadischen Logarithmus beweisen. Zusätzlich notieren wir die entsprechenden Gesetze für den natürlichen und den allgemeinen Logarithmus. Folgerungen aus der Logarithmusdefinition Bevor wir zu den eigentlichen Logarithmusrechenregeln kommen, erläutern wir kurz einige Zahlengleichungen, die direkt aus der Logarithmusdefinition folgen. Diese an sich selbstverständlichen Beziehungen werden wir noch oft benötigen, so dass wir sie in einer Regel zusammenfassen wollen.
In allen diesen technischen Anwendungen wird der dekadische Logarithmus zusammen mit dem Dezibel bevorzugt, zumal diese Darstellung eine einfache Zehnerpotenzabschätzung ermöglicht. Nur in theoretischen Abhandlungen wird der natürliche Logarithmus bevorzugt. Der menschliche Sinneseindruck verläuft in etwa logarithmisch zur Intensität des physikalischen Reizes ( Weber-Fechner-Gesetz). Damit entspricht der Pegel der einwirkenden physikalischen Größe linear dem menschlichen Empfinden. Das hat beispielsweise für die Akustik Bedeutung, wo auch die Maßeinheit der psychoakustischen Größe Lautstärke, das Phon, durch eine Verknüpfung mit dem physikalischen Schalldruckpegel in Dezibel definiert ist. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Typische Schalldruckpegel verschiedener Geräusche dBFS als Abkürzung für "Decibels relative to full scale" Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Jürgen H. Maue, Heinz Hoffmann, Arndt von Lüpke: 0 Dezibel plus 0 Dezibel gleich 3 Dezibel. Logarithmusgesetze | Mathebibel. 8. Auflage.
Aus dem Begleittext " Potenzen und Exponentialfunktionen entnehmen wir die Gleichung: oder analog: Mit Definition 2 erhalten wir: bzw. Ebenfalls entnimmt man dem Begleittext: oder: Definition 2 liefert wiederum: Wir fassen diese Ergebnisse zusammen: Regel 2: Es gelten: Außerdem: Aus Regel 2 kann man folgern, dass zum Beispiel und zwischen 0 und 1 liegen müssen, da und. Bel (Einheit) – Wikipedia. Logarithmen von Produkten und Quotienten Was kann man über den Logarithmus des Produktes zweier Zahlen aussagen? Wir entdecken die Regel an einem konkreten Beispiel. Betrachten wir zunächst Abbildung 4668 mit der Funktion, die zur besseren Übersichtlichkeit im Zahlenbereich zwischen 0 und 1 vergrößert dargestellt ist. Abb. 4668 Die Funktion y=10^(x) im Bereich x=0 bis x=1 Man erhält für einen dekadischen Logarithmus folgende Tabelle: Wir entnehmen ihr: Addition ergibt: Weil aber ist können wir schreiben: Wir vermuten also die Regel: Der Logartihmus des Produktes zweier Zahlen und ist gleich der Summe der Logarithmen: Dies läßt sich natürlich auch beweisen.
Beispiel 7 $$ \log_3 81^{\color{red}4} = {\color{red}4} \cdot \log_3 81 = 4 \cdot 4 = 16 $$ Beispiel 8 $$ \log_7 7^{\color{red}2} = {\color{red}2} \cdot \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 $$ Beispiel 9 $$ \log_2 1024^{\color{red}3} = {\color{red}3} \cdot \log_2 1024 = 3 \cdot 10 = 30 $$ Potenzregel 2 In Worten: Der Logarithmus einer Wurzel entspricht dem Logarithmus des Radikanten geteilt durch den Wurzelexponenten.
Das hat zum einen historische Gründe: [4] In den USA war bis 1923 als Einheit für das Dämpfungsmaß einer Fernsprechverbindung die Hilfsmaßeinheit "Mile Standard Cable" (m. s. c. ) in Verwendung. Diese Einheit entspricht dem Dämpfungsmaß eines bestimmten Kabeltyps ("19 gauge ") bei einer Länge von einer englischen Meile und einer Frequenz von 800 Hz und gleichzeitig der mittleren subjektiven Wahrnehmbarkeitsschwelle beim Vergleich von zwei Lautstärken. Letzteres trifft ebenfalls für das Dezibel zu. Deshalb ergaben sich bei Verwendung des Dezibels in etwa die gleichen Zahlenwerte wie bei Verwendung von "Mile Standard Cable" (1 m. = 0, 9221 dB). Ein weiterer Grund für die bevorzugte Verwendung des Dezibels ist, dass sich einfach fassbare Zahlenwerte ergeben. So ist z. B. die Verdopplung der Leistung als Leistungsgröße eine Änderung von etwa 3 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 10 dB. Dagegen ist jedoch z. B. die Verdopplung der Spannung bzw. des Schalldrucks als Feldgröße eine Änderung von etwa 6 dB und die Verzehnfachung eine Änderung von 20 dB.