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In diesem Kapitel besprechen wir die Integrationsregeln. Dabei handelt es sich um Regeln, die bei der Integration von Funktionen beachtet werden müssen. Einordnung In unserer Formelsammlung finden wir die unbestimmten Integrale einiger einfacher Funktionen. Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln beachten. Potenzregel Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion. Integral [Mathematik Oberstufe]. Beispiel 1 $$ \begin{align*} \int \! x^3 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} + C \end{align*} $$ Beispiel 2 $$ \begin{align*} \int \! x^4 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{4+1}x^{4+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$ Faktorregel Mithilfe der Faktorregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen. Beispiel 3 $$ \begin{align*} \int \! 4x \, \textrm{d}x &= 4 \int \! x \, \textrm{d}x \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\[5px] &= 2x^2 + C \end{align*} $$ Beispiel 4 $$ \begin{align*} \int \!
Im vorgegebenen Intervall [a; b] sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich Null ( \( f(x) ≤ 0 \): \( A = \left| \int \limits_{a}^{b} f(x) dx \right| \)) Fall 3: Die Flächenstücke liegen teilweise oberhalb, teilweise unterhalb der x-Achse. Der Inhalt der Gesamtfläche ergibt sich als Summe der Teilflächen. Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] keinen Schnittpunkt: \( A = \int \limits_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \), dabei liegt f über g. Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] mindestens eine Schnittstelle. Dann wird der Flächeninhalt in den drei Schritten berechnet: 1. Schnittstellen berechnen 2. Differenzfunktionen bilden ("obere" Funktion minus "untere" Funktion) 3. Integralrechnung zusammenfassung pdf downloads. Von Schnittstelle zu Schnittstelle schrittweise integrieren (bzw. von vorgegebenen Grenzen)
Theoretisch kann man mit allerkleinsten Dreiecken die Parabelfläche ganz ausfüllen. Allerdings nur, wenn man das unendlich fortsetzt, denn es zeigt sich, dass immer noch Platz frei bleibt, so klein das Dreieck auch wird. Man bekommt mit dieser Methode doch schon recht genaue Ergebnisse. Weil die Fläche sozusagen ausgeschöpft wird, nennt man diese Methode auch "Ausschöpfungs-Methode" (mit Fremdwort: Exhaustions-Methode). Man sieht, dass statt der Dreiecke auch Rechtecke oder Trapeze oder Kombinationen solcher Figuren genommen werden können. Die Flächen lassen sich leicht berechnen und müssen nur summiert werden. Das Ergebnis ist aber immer nur hinreichend genau. Die Ausschöpfungs-Methode ist keine eigentliche Integralrechnung, denn die Integralrechnung beruht auf einer völlig anderen Methode. Heute wird die Integralrechnung im wesentlichen so benutzt, wie sie von G. W. Integralrechnung zusammenfassung pdf page. LEIBNIZ (1646 - 1716) und (1643 - 1727) entwickelt wurde. Man kann feststellen, dass die Integralrechnung rein rechnerisch die Umkehr-Rechnung der Differentialrechnung ist, weshalb beide auch zur Infinitesimal-Rechnung zusammengefasst werden.
Viele Stammfunktionen lassen sich leicht finden, aber noch mehr lassen sich nur schwer und manche gar nicht finden. So ist z. B. Zudem gibt es keinen eigentlichen Rechenweg (Algorithmus), um zur Stammfunktion zu kommen, sondern nur Regeln. Deshalb sind in Tabellen häufige und bekannte Stammfunktionen oder Grundintegrale aufgeführt. Außerdem gibt es im Internet Integral-Online Rechner. Grundlagen der Integralrechnung. Nun folgen einige Beispiele von Flächen unter Funktionskurven zu sehen, deren Flächeninhalt berechnet werden könnte. Diese Aufgabenstellungen werden dir in der Integralrechnung also begegnen: 1. Der Flächeninhalt wird vom Graph der quadratischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen: 2. Der Flächeninhalt wird vom Graph der kubischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen: 3. Der Flächeninhalt wird von den Graphen zweier quadratischer Funktionen eingeschlossen: 4. Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier quadratischer Funktionen und über deren Schnittpunkte hinaus: 5. Der Flächeninhalt wird zwischen dem Graphen einer Funktion und einer Geraden eingeschlossen: 6.
Während bei der Differenzierung einer Funktion die itung ermittelt wird, kann man sich die Integration so vorstellen: Eine Funktion zu integrieren (d. h. die Fläche unter der Funktionskurve zu berechnen) heißt, sich diese Funktion als itung zu denken. Nun sucht man eine dazu gehörige Funktion, die - wenn man sie ableitet - ebenjene itung (also die Ausgangsfunktion) ergeben würde. Diese andere Funktion heißt Stammfunktion. Beispiel: Die Stammfunktion lautet: Würde man davon die itung bilden, dann erhält man genau die erste Funktion. Das ist das Prinzip der Integration von Funktionen. Diese Methode ist im Unterschied zur Ausschöpfungs-Methode in ihrem Vorgehen algebraisch und nicht geometrisch. Während die Ausschöpfung mit geometrischen Figuren arbeitet, verwendet die Integralrechnung algebraische Ausdrücke, also letztendlich Gleichungen. Integralrechnung zusammenfassung pdf online. Für die Integration gibt es eine spezielle Schreibweise: Allgemein: bedeutet: Integral der Funktion f(x), also geometrisch die Fläche unter dieser Funktionskurve.
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