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Wichtig: Die Formel a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 gilt nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist! Detaillierte Einführung In diesem Video wird der Satz des Pythagoras sehr ausführlich erklärt. Inhalt wird geladen… Beispiel Gegeben sind die beiden Katheten a = 4 a=4 und b = 3 b=3 eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Hypotenuse c c. Setze in den Satz des Pythagoras ein und rechne die rechte Seite aus. (Bemerkung: Die Lösung c = − 5 c = -5 scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann. ) Wichtig: Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen. Die Kathete a lässt sich zum Beispiel berechnen mit a = c 2 − b 2 a=\sqrt{c^2-b^2} Video mit Beispielrechnungen Inhalt wird geladen… Pythagoras beschreibt auch Flächengleichheit Für jede positive Zahl a a beschreibt a 2 a^2 die Fläche eines Quadrates mit der Seitenlänge a a. Genauso kann man sich b 2 b^2 und c 2 c^2 als Fläche von Quadraten vorstellen. Der Satz des Pythagoras gibt somit auch einen Zusammenhang der Flächen über den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck an.
Berechne mit dem Satz des Pythagoras Aufgabe Wie lang ist die Raumdiagonale r in einem Würfel mit der Kantenlänge a=12 cm? Lsung zurück zur bersicht Satz des Pythagoras
Einleitung und Wiederholung Du lernst in diesem Kapitel, wie du den Satz des Pythagoras in Flächen und Körpern anwenden kannst. Es geht häufig darum, eine Höhe auszurechnen. Wenn du die Höhe kennst, kannst du den Flächeninhalt oder das Volumen (Rauminhalt) berechnen. Das Wichtigste ist, das rechtwinklige Dreieck zu sehen. Das Ausrechnen einer fehlenden Seite hast du schon gelernt. Diese Formeln brauchst du: Zum Berechnen der Hypotenuse $$c$$ (längste Seite im rechtwinkligen Dreieck - dem rechten Winkel gegenüber): $$c^2=a^2+b^2$$ Zur Berechnung einer Kathete $$a$$ oder $$b$$ (die kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck - anliegend am rechten Winkel): $$a^2 = c^2 - b^2$$ oder $$b^2 = c^2 - a^2$$ Bild: mauritius images GmbH (Merten) Bei der Kathetenberechnung ist es nicht egal, wie du die Formel aufschreibst. Du ziehst immer den Flächeninhalt der Kathete von dem Flächeninhalt der Hypotenuse ab. Solltest du die Zahlen falsch notieren, würdest du eine negative Zahl herausbekommen. Aus dieser lässt sich nicht die Wurzel ziehen.
Hier erfährst du, wie du mit dem Satz des Pythagoras Streckenlängen in Figuren und Körpern berechnen kannst. Höhe im gleichseitigen Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt: h = a 2 3 Durch die Höhe wird das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt. Die Kathetenlängen sind h und a 2, die Hypotenusenlänge ist a. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: a 2 = h 2 + a 2 2 Du stellst nach h 2 um, ziehst die Wurzel und vereinfachst so weit wie möglich: Also: Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 4 cm Höhe h (in cm): Diagonale im Quadrat In einem Quadrat mit der Seitenlänge a gilt für die Länge der Diagonale d: d = a 2 Die Diagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ABC. Die Katheten in diesem Dreieck sind die Seiten des Quadrats. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: Du ziehst die Wurzel: Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm Länge der Diagonale d (in cm): Raumdiagonale im Quader In einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gilt für die Länge der Raumdiagonale d: d = a 2 + b 2 + c 2 Die Raumdiagonale d ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ACG, die Katheten sind die Seiten c und e.
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